Почему один денежный проект может иметь две внутренние ставки доходности

Внутренняя ставка доходности выглядит как одно итоговое число. Но математическое уравнение может иметь несколько подходящих решений. Возвращённая программой ставка сама по себе не доказывает единственность. Особенно важно сохранить будущие расходы после промежуточного поступления: их пропуск меняет сам проект, а не только способ отображения процента.

Сохраните весь денежный календарь

В учебном конспекте MIT IRR определяется как ставка, при которой NPV равна нулю; отдельно отмечена возможность нескольких IRR. Ниже собственная трёхстрочная модель. Все деньги условны, каждый срок известен, неопределённость исполнения не рассматривается.

В момент0 имеется100, и вся сумма выплачивается проекту. Через один год поступает230. Ещё через год обязательно выплачивается132 за завершение проекта. Промежуточные деньги хранятся без процентов; из230 хватает зарезервировать будущие132. Касса после начальной оплаты0, после поступления230, после последней выплаты98. Других поступлений, налогов и комиссий нет.

Получите уравнение вместо выбора процента

При постоянной годовой ставке r с положительным фактором1+r приведённая стоимость равна NPV(r)=−100+230/(1+r)−132/(1+r)². IRR должна обращать её в0. Условие r больше−100% исключает нулевой и отрицательный дисконтный фактор.

Обозначим y=1+r. Умножение на положительное y² даёт100y²−230y+132=0. Этот многочлен раскладывается в(10y−11)(10y−12). Оба корня подходят: y=1,1 иy=1,2. Следовательно, у одного календаря две годовые IRR:10% и20%. Это все корни данного квадратного уравнения, а не два разных проекта.

Подставьте оба решения обратно

При10% поступление имеет текущую стоимость230/1,1, последняя выплата132/1,1². Их разность точно100, поэтому NPV=0. При20% разность230/1,2−132/1,2² тоже точно100. Проверка проводится без промежуточного округления: десятичные части по отдельности могут быть бесконечными.

Положительные корни не означают, что оставленные деньги выросли на10% или20% за каждый год. В нашем кассовом журнале итог98 против начальных100, разница−2. IRR описывает равенство дисконтированных знакопеременных потоков, а не изменяет установленное условие хранения промежуточных230 без процентов.

Две смены знака в календаре предупреждают о возможной проблеме, но сами по себе не доказывают наличие двух допустимых ставок. Нужны реальные корни конкретного уравнения и проверка области. У другого проекта корней может быть меньше. Здесь положительность обоих факторов и обратная подстановка проверены явно, поэтому второй ответ нельзя отбросить только из-за предпочтения одного процента.

Проверьте знак NPV при заданной извне ставке

При5% NPV=−100/147, приблизительно−0,6803. При15% она100/529, примерно+0,1890. При30% получаем−200/169, около−1,1834. Сначала знак отрицательный, затем положительный, потом снова отрицательный. Поэтому обычная картинка единственного монотонного пересечения здесь не работает.

Это видно и из формулы NPV(r)=−100(r−0,1)(r−0,2)/(1+r)². Между10% и20% она положительна, вне этого промежутка отрицательна, а на границах0. В частности, обе IRR выше5%, но NPV при5% отрицательна. Механически выбрать больший корень и сравнить его с любым порогом нельзя.

Как сделать проверку воспроизводимой

Запишите даты и знаки всех платежей, допустимую область ставки, уравнение и найденные корни. Ставку для оценки NPV задайте отдельно и объясните её основания: наш пример подходящую рыночную ставку не определяет. Будущая завершающая выплата может быть экономически важнее красивого процента. Проверка корней объясняет неоднозначность показателя, не делает проект выгодным и не рекомендует его финансировать.

Ограничения разбора

• Все суммы и три даты вымышлены. Платежи состоятся полностью и точно по календарю; риск неплатежа не оценён.
• IRR считается для постоянного годового дисконтного фактора1+r>0. Два корня относятся только к данному полиному; несколько смен знака сами по себе не гарантируют несколько допустимых IRR.
• Поступление230 хранится без дохода и покрывает будущую выплату132. Корень IRR не является обещанным фактическим ежегодным ростом кассы.
• Нет налогов, комиссий, инфляции, внешнего финансирования и выбора подходящей ставки или инвестиции. Значения NPV округлены только для показа.

Источники

1. MIT Sloan15.415 — First Half Summary, Present Values/Capital Budgeting, 1999