Почему одинаковая корреляция не означает одинаковый масштаб движения

Две величины могут иметь одинаковую корреляцию с ориентиром и при этом меняться в разном процентном масштабе. Коэффициент связи не является множителем движения. Чтобы увидеть различие, сравним корреляцию и наклон прямой на одной полной таблице. Здесь мы не ищем окно, в котором связь стабильнее: окно одинаково для всех рядов.

Два разных знаменателя

В глоссарии QuantConnect Pearson определяется через ковариацию, делённую на произведение стандартных отклонений. Там же beta задаётся отношением ковариации результата и ориентира к дисперсии ориентира. Мы используем эти определения для собственной конечной таблицы, без утверждений о реальном рынке.

Обозначим корреляцию r=Cov(X,Y)/(σX×σY), наклон b=Cov(X,Y)/Var(X). При ненулевых дисперсиях b=r×σY/σX. Изменение масштаба Y попадает и в ковариацию, и в его стандартное отклонение; в r эти множители сокращаются. В b такого сокращения нет.

Одна таблица четырёх наблюдений

Все числа — вымышленные однопериодные доходности в процентах, синхронные и без пропусков. Четыре тройки (X;Y;Z): (−1;−3;−0,75), (−1;−1;−0,25), (+1;+1;+0,25), (+1;+3;+0,75). Это четыре наблюдения, а не четыре вероятностных прогноза. В каждом столбце среднее равно нулю, а Z=Y/4.

Для простоты все дисперсии и ковариации считаем со знаменателем 4. Получаем Var(X)=1, Var(Y)=5, Var(Z)=5/16=0,3125. Средние произведения дают Cov(X,Y)=2 и Cov(X,Z)=0,5. Если последовательно использовать знаменатель 3, сами оценки изменятся, но рассматриваемые отношения останутся теми же.

Один коэффициент связи, два наклона

Корреляция X с Y равна 2/√5≈0,894427. Для Z она равна 0,5/√(5/16)=2/√5: ровно то же число. Наклоны различаются: bY=2/1=2, bZ=0,5/1=0,5. При одинаковой корреляции первая прямая в четыре раза круче второй. Это расчёт выбранных наблюдений, не характеристика какого-либо известного актива.

Наклон также не обещает точного результата каждого наблюдения. При X=+1 в таблице Y бывает +1 и +3, хотя линия с нулевым свободным членом даёт 2. Остатки Y равны −1,+1,−1,+1; остатки Z вчетверо меньше. Поэтому превращать оценённый наклон в обязательный будущий процент тоже нельзя.

Что сохранить при сравнении

Запишите окно, единицы доходности, их периодичность, общий набор дат и столбец, относительно которого считаете наклон. Перестановка X и Y меняет задачу регрессии. Не заменяйте доходности уровнями цены и не смешивайте денежное изменение одного инструмента с процентным изменением другого.

В сравнительном разборе по Вайкоффу похожесть направлений может дать повод изучить общий фон. Денежный результат конкретной позиции дополнительно зависит от размера и финансирования, которых эта таблица не содержит. Ни высокая корреляция, ни рассчитанная beta не доказывают причинность, устойчивость на новом периоде или готовое отношение для хеджирования.

Ограничения разбора

• Все четыре тройки вымышлены, синхронны и выражены в процентах одного периода.
• Конечная таблица не оценивает статистическую значимость, причинность, устойчивость или будущую beta.
• Знаменатель 4 используется согласованно; нет смешения оценок с 4 и 3.
• Наклон описывает линейную подгонку с константой; средние здесь нулевые, но отдельные остатки ненулевые. Не выбирается реальный хедж или размер позиции.

Источники

1. QuantConnect Documentation — Glossary: beta; Pearson correlation