Почему одинаковая граница потерь скрывает разный худший хвост

Сообщение «граница потерь равна десяти» ещё не описывает тяжесть редких больших потерь. Квантиль и среднее худшего хвоста выполняют разные операции над одним распределением. Дополнительная трудность возникает, когда несколько исходов имеют одинаковую потерю на границе: выбрать все значения строго выше неё не всегда означает взять нужные пять процентов. Проверим это без рыночной статистики.

Зафиксируйте определения до расчёта

Потерю L считаем неотрицательным числом. Наш VaR95 — наименьшее значение v, для которого вероятность L не больше v достигает 95%. ES95 определим как среднюю потерю ровно в худших 5% вероятности. При ста равновероятных исходах это среднее пяти самых больших чисел после сортировки.

В первичной работе Acerbi и Tasche отдельно разобраны квантиль, хвостовое среднее и отличие от условного ожидания для разрывных распределений. У авторов используется обозначение через нижний хвост результата; здесь явно выбраны положительные потери и верхние 5%. Нормативные уровни капитала не воспроизводятся.

Задайте все исходы двух моделей

В модели A исходы с номерами 1–94 имеют потерю 0, номера 95–99 — потерю 10, номер 100 — потерю 1000 условных денежных единиц. Каждый номер имеет вероятность 1/100. В модели B меняется только последний убыток: вместо 1000 он равен 100. Других потерь, периодов и расходов нет.

Это две полностью заданные вероятностные таблицы, а не сто наблюдений реального портфеля. Независимость разных периодов не требуется: мы рассматриваем один исход одного периода. Все повторяющиеся десятки остаются самостоятельными равновероятными случаями.

Найдите границу и сохраните совпадения

В обоих вариантах вероятность потери не больше 0 равна 94/100. Она ещё меньше 95%. При границе 10 накопленная вероятность уже 99/100. Следовательно, VaR95 обоих равен 10. Фактическая вероятность строго превысить эту границу составляет 1%, а не обязательно ровно 5%: распределение перескочило порог целой группой совпадений.

Худшие пять исходов A содержат 1000 и четыре десятки. Получаем (1000+4×10)/5=208. В B это (100+4×10)/5=28. Пятая десятка осталась за выбранной хвостовой массой. Какие именно четыре одинаковых номера включить, на сумму не влияет.

Не меняйте событие незаметно

Если усреднить только L строго больше 10, останется один исход: среднее A равно 1000, B —100. Это корректные условные средние для массы 1%, но не рассчитанные ES95. Если включить все L не меньше 10, получится шесть исходов:1050/6=175 и150/6=25. Масса теперь 6%, поэтому ответ снова другой.

Средние по всему распределению тоже иные:1050/100=10,5 и150/100=1,5. Они не равны ни квантилю, ни среднему худших пяти. Знаменатель определяется вопросом, а не выбирается ради удобного результата.

Как проверить отчёт о риске

Сохраните знак потери, горизонт, вероятности, определение квантиля и правило обработки совпадений. Затем отдельно проверьте массу выбранного хвоста и сумму его потерь. Одинаковый VaR не устанавливает одинаковый хвост и не ограничивает максимальную потерю десятью. Учебные 208 и28 не определяют размер позиции: для реального рынка нужны обоснованное распределение и проверка неизвестных рисков.

Ограничения разбора

• Все вероятности, потери и номера исходов вымышлены; это полный закон одного периода, не эмпирическая оценка по ста наблюдениям.
• Нижний95%-квантиль и среднее ровно верхних5% объявлены до расчёта; при иной конвенции квантиля или иной хвостовой массе процедура меняется.
• Равные потери на границе включаются лишь в необходимом объёме вероятности. Среднее при строгом L>VaR относится здесь к1%, не5%.
• Нет прогноза хвостов, достаточного капитала, будущего максимума потерь, правил регулятора или рекомендации по размеру позиции.

Источники

1. Acerbi, Tasche — On the coherence of Expected Shortfall, 2002