Почему очередь растёт быстрее нагрузки при той же скорости обслуживания

Обслуживание одной заявки занимает в среднем шесть минут, но клиент способен проводить в системе гораздо больше. Остальное время приходится на очередь. При случайном входе небольшое уменьшение свободного запаса мощности меняет ожидание нелинейно. Посчитаем две полностью условные стационарные системы с одним и тем же обслуживанием, не выдавая формулу за срок реального заказа.

Сначала задайте весь случайный механизм

В лекциях MIT о M/M/1 описаны экспоненциальные интервалы прихода и обслуживания, один сервер и неограниченное ожидание. Наши входные интервалы независимы со средним 1/λ часа. Обслуживания независимы со средним 1/μ и независимы от входа. Приходы образуют пуассоновский поток.

Очередность — в порядке прихода. Сервер работает, когда есть заявка, без перерывов и переналадки. Никто не уходит и не отказывается ждать; места не ограничены. В обеих альтернативах μ=10 заявок в час, среднее обслуживание 1/10 часа, то есть 6 минут. Меняется толькоλ:5 либо 9 в час.

Объявите стационарность, а не пустое начало смены

Загрузкаρ=λ/μ должна быть меньше 1. Система уже находится в стационарном режиме: начальное число заявок N имеет вероятности P(N=n)=(1−ρ)ρ^n дляn=0,1,2 и далее. Сюда входит и обслуживаемая заявка. Мы не стартуем с пустого помещения и не обещаем такой результат за первый фактический час.

Баланс соседних состояний даёт λP(N=n)=μP(N=n+1). Отношение вероятностей равноρ; нормировка геометрической суммы задаёт 1−ρ. Среднее число в системе L=ρ/(1−ρ). Через закон Литтла полное среднее время W=L/λ=1/(μ−λ). Оно включает обслуживание; среднее ожидание до его начала Wq=W−1/μ.

Поток пять заявок в час

Приλ=5 загрузка 1/2, вероятность пустой системы 1/2. Среднее L=(1/2)/(1/2)=1. Полное время W=1/(10−5)=1/5 часа, или 12 минут. Из них 6 — обслуживание и 6 — ожидание очереди.

Среднее число именно ожидающих равноλWq=5×1/10=1/2. Дробная половина не означает физическую половину человека: это среднее по стационарному случайному состоянию. В отдельный момент очередь может быть пустой или гораздо длиннее среднего.

Поток девять заявок при том же сервере

Теперьρ=9/10, вероятность пустой системы 1/10, L=9. Полное время W=1/(10−9)=1 час, или 60 минут. Среднее обслуживание осталось 6 минут, поэтому Wq=54 минуты. Среднее ожидающих 9×9/10=8,1, отдельно от 0,9 в среднем обслуживаемой заявки.

Вход увеличился с 5 до 9, то есть на 80%. Полное среднее время выросло в 5 раз, ожидание очереди — в 9 раз. Запасμ−λ сократился с 5 до 1 заявки в час. Это результат заданного случайного механизма, не доказательство замедления работы самого сервера.

Среднее 9 не ограничивает число заявок девятью. В геометрическом законе вероятность N не меньше 10 равнаρ^10. Для загрузки 0,9 получается 0,3486784401, около 34,87%; для 0,5 —1/1024. Эти вероятности относятся к стационарному числу в системе, а не к количеству новых заказов за час.

Где заканчивается применение формулы

Приλ не меньшеμ использованного стационарного распределения нет; деление на нулевой или отрицательный запас не даёт допустимое среднее этой модели. Это не утверждение о бесконечном ожидании каждого конкретного клиента. Реальные приходы группами, приоритеты, несколько работников, отказ от ожидания и непостоянное обслуживание требуют другого расчёта. Сохраняйте закон входа, обслуживания и начального состояния, а не только средние шесть минут.

Ограничения разбора

• Все интенсивности и вероятностные законы вымышлены, не оценены для настоящего сервиса.
• Независимые экспоненциальные интервалы входа и обслуживания, один FCFS сервер, бесконечное ожидание без отказов/ухода/перерывов; иные законы меняют результат.
• Задано стационарное начальное распределение. Средние не равны исходу любого часа после пустого старта и не ограничивают отдельное ожидание.
• Дляλ≥μ стационарная формула не применяется. Нет обещания срока, решения о персонале, выгодности ускорения или качества биржевого исполнения.

Источники

1. Stanley B. Gershwin, MIT2.852 — Probability, M/M/1, Spring2010