Почему разные наборы активов могут дать одинаковую конечную выплату

Разные названия инструментов не обязательно означают разные деньги в конце периода. Иногда один набор повторяет другой при любом конечном значении цены. Чтобы проверить это, нескольких удачных сценариев недостаточно: нужны формулы и все области цены. При этом совпадение конечных выплат ещё не заменяет сравнение первоначальных расходов и не устанавливает реальные котировки.

Сначала определите права и единицу

В бюллетене Investor.gov call связан с правом купить, put — с правом продать по страйку. Премия оплачивается отдельно. Ниже используем только эти понятия: наши денежные контракты заданы самостоятельно, а правила реальных американских или российских опционов не переносятся.

Пусть K=100, а S — любая неотрицательная цена одной условной единицы актива в общую дату T. Денежный put полностью выплачивает max(100−S,0), call — max(S−100,0). До T ни исполнить, ни перепродать их нельзя; в T расчёт автоматический. Актив не даёт промежуточных выплат и продаётся в T ровно за S.

Проверьте обе стороны границы

Набор A содержит один актив и один put. Его конечные деньги равны S+max(100−S,0). Набор B содержит 100 наличных и один call:100+max(S−100,0). На наличные не начисляется процент; никаких других денежных потоков нет.

Если S ниже 100, A даёт S+(100−S)=100, B —100+0=100. Если S выше 100, A даёт S+0=S, B —100+(S−100)=S. При S=100 оба дают 100. Значит, для любого допустимого S обе функции равны max(S,100), а не только совпадают в трёх выбранных точках.

Стоимость набора — отдельная строка

Зададим внешним условием начальную цену актива 100, цену put8 и цену call12. Это учебные числа, не предложение рынка и не утверждение о равновесии цен. Тогда покупка A требует 108, покупка B —112. Конечные выплаты наборов совпадают, но вычитание разных начальных расходов даёт разные полные результаты.

Возьмём одинаковый исходный бюджет 112. После покупки A остаётся 4 наличных без процентов; после B —0. Поэтому все деньги владельца в T составят max(S,100)+4 для A и max(S,100) для B. Разница 4 сохраняется при любом S; она возникла из заданной разницы стоимости, а не из дополнительной опционной выплаты.

Три сценария проверяют полную кассу

При S=80 и S=100 наборы по отдельности дают 100. С остатком бюджета итог A равен 104, B —100: относительно исходных 112 это потери 8 и 12. Нижняя граница выплаты 100 не означает сохранности всех внесённых 112, поскольку премии были оплачены раньше.

При S=130 каждый набор даёт 130, но с остатком итог A равен 134, B —130: прирост 22 и 18. Это альтернативные конечные цены, не последовательные дни и не прогноз. Проверку для остальных S уже обеспечило тождество по областям, а не статистическое обобщение трёх примеров.

Где заканчивается вывод о совпавших выплатах

В модели нет займа, продажи чужого набора, коротких позиций, комиссий, налогов, дефолта и промежуточных выплат; не доказывается доступность сделки с обратной стороной. Поэтому из условной разницы 4 не выводим реальную арбитражную возможность. Для связи текущих цен нужны отдельные условия финансирования и исполнения. Сначала согласуйте дату, единицу, выплаты и весь бюджет, затем обсуждайте стоимость: похожее название или один график базового актива этой проверки не заменяют.

Ограничения разбора

• Все цены и контракты условны; единица равна 1, K100 и T одинаковы. S неотрицательна; актив не имеет промежуточных выплат или корпоративных изменений.
• Оба права денежные, европейские, автоматически и полностью оплачиваемые в T; до T продажи и исполнения нет. Реальная поставка или множитель 100 акций не моделируются.
• Наличность без процентов, нет займа, коротких позиций, комиссий, налогов, дефолта и требований обеспечения.
• Цены актива 100/put8/call12 заданы извне, не являются котировками или безарбитражной оценкой; совпадение выплат само по себе не устанавливает реальные текущие цены.
• Начальный бюджет 112 общий для обоих вариантов, остаток 4 у A сохраняется. Нижняя конечная выплата 100 не гарантирует возврата всех первоначальных 112 и не является рекомендацией купить комбинацию.

Источники

1. SEC Investor.gov — An Introduction to Options: Investor Bulletin