Почему перекрывающиеся окна связаны даже при независимых шагах цены

В таблице каждую минуту рассчитано изменение за последние две минуты. Строк стало больше, но соседние строки используют часть одних и тех же данных. Поэтому их связь может возникнуть без памяти в исходных ценовых шагах. Проверим механизм перекрытия на полной маленькой модели, где независимость исходных величин задана, а не предполагается по виду графика.

Сначала задайте исходные шаги и окна

Начальная цена равна 100. Каждый из трёх последовательных шагов X1, X2 и X3 независимо принимает−1 либо+1 пункт с вероятностью 1/2. Длительности одинаковы, иных изменений между контрольными точками не задаём. Все восемь троек знаков равновероятны; вероятности придуманы автором и не измерены на рынке.

Первое двухшаговое изменение U=X1+X2, второе V=X2+X3. Это точные разности цен за интервалы 0–2 и 1–3. Они перекрываются шагом X2. Пункты складываются; простые процентные доходности вместо них не используются. У каждого исходного шага среднее 0 и дисперсия 1 пункт².

Перечислите всю совместную таблицу

Для троек(−1;−1;−1),(−1;−1;+1),(−1;+1;−1),(−1;+1;+1) пары(U;V) равны(−2;−2),(−2;0),(0;0),(0;+2). Для(+1;−1;−1),(+1;−1;+1),(+1;+1;−1),(+1;+1;+1) получаем(0;−2),(0;0),(+2;0),(+2;+2). Каждая строка имеет вероятность 1/8.

В каждом столбце значения−2,0,+2 имеют вероятности 1/4,1/2,1/4. Поэтому средние U и V равны 0, обе дисперсии равны 2. Произведения U×V по восьми строкам:4,0,0,0,0,0,0,4. Их среднее 1, значит ковариация равна 1 пункт². Корреляция 1/√(2×2)=1/2.

Общий член объясняет результат

При раскрытии произведения получаются X1X2+X1X3+X2²+X2X3. Средние трёх смешанных произведений равны 0 из-за заданной независимости и нулевых средних. Но X2² всегда 1. Именно он остаётся в ковариации. Полученные 0,5 не являются доказательством продолжения тренда: обе строки частично содержат одно уже произошедшее изменение.

Для сравнения зададим четвёртый независимый такой же шаг X4 и два неперекрывающихся окна A=X1+X2, B=X3+X4. Все шестнадцать четвёрок равновероятны. По полному перебору средние 0, дисперсии снова 2, но среднее A×B и ковариация равны 0. Здесь удалена именно механическая общая составляющая.

Для окна из n таких независимых шагов дисперсия суммы равна n. Два соседних окна со сдвигом на один шаг содержат n−1 общих членов; их ковариация равна n−1, корреляция —(n−1)/n. При n=20 получаем 19/20=0,95. Почти одинаковые изменения длинных соседних окон поэтому могут возникнуть из самой конструкции, без заданной связи разных исходных шагов. Это продолжение авторской модели, а не измеренная корреляция двадцатиминутных движений.

Что означает это для таблицы исследования

Восемь исходов — полная вероятностная модель, а не восемь строк реальной выборки. Условная корреляция 0,5 не обещает такого значения оценке по любому короткому журналу. Число вычисленных окон тоже не задаёт готовой формулы эффективного размера выборки: её мы не выводили.

Сохраните начало, конец и исходные наблюдения каждой строки. Если два подтверждения используют общий участок, отметьте его до оценки повторяемости. В сравнении таймфреймов по Вайкоффу новый сдвиг окна не обязательно даёт новое независимое свидетельство. Отказ от перекрытия устраняет этот механизм в нашей модели, но не доказывает независимость настоящих рынков: у них возможны другие связи.

Ограничения разбора

• Все вероятности и шаги вымышлены; независимость исходных приращений объявлена условием, не установлена статистическим тестом.
• Суммируются изменения в пунктах. Простые процентные доходности, объёмы, диапазон OHLC и цены исполнения не рассчитываются.
• Корреляция 1/2 относится к полному совместному закону U/V, не гарантируется оценке по короткой реальной выборке.
• Неперекрывающиеся окна независимы здесь благодаря независимости всех исходных шагов. На реальный ряд вывод не переносится без проверки.
• Нет формулы эффективного размера выборки, значимости, прогноза цены или торгового преимущества.

Источники