Почему повторные измерения не убирают постоянное смещение

Несколько близких измерений могут выглядеть убедительнее одного. Но они способны повторять одну постоянную ошибку. Усреднение уменьшает случайную часть только при определённых условиях; оно не знает, где находится правильное значение. Разделим разброс и смещение на полном конечном примере, где истина объявлена автором специально для проверки, а реальный прибор не исследуется.

Истина и повторяемость — разные сведения

В определении NIST bias связан с разностью среднего измерения и истинного либо опорного значения. Терминология NIST отдельно описывает случайную и систематическую ошибки и поправку. Небольшой разброс сам не является внешним эталоном.

Зададим истинное значение θ=100 условных единиц. Прибор добавляет постоянное смещение b=2 и шум ε, равный−1 или+1 с вероятностями 1/2. Шумы разных повторов независимы; объект и условия не меняются. Каждое показание Y=θ+b+ε, то есть 101 либо 103. Истина иb известны автору модели, но не извлекаются автоматически из серии показаний.

Посчитайте одну попытку относительно истины

Среднее показание равно(101+103)/2=102. Смещение 102−100=2. Отклонения показания от своего среднего−1/+1 дают дисперсию 1. Но ошибки относительно истинных 100 равны+1/+3. Их средний квадрат MSE=(1²+3²)/2=5, не 1.

Связь проверяется разложением: MSE=Var(Y)+(E[Y]−θ)²=1+2²=5. Здесь MSE —среднее квадрата ошибки по полному закону модели, не фактическая ошибка одного прочитанного числа. Квадратные единицы не следует называть самим измеренным размером.

Перечислите полную серию из четырёх повторов

У четырёх независимых знаков шума 16 равновероятных последовательностей. Если число плюсов k равно 0,1,2,3,4, среднее показание равно 101+k/2:101;101,5;102;102,5;103. Числа соответствующих последовательностей 1,4,6,4,1; вероятности получаются делением на 16.

Среднее этой новой таблицы снова 102, смещение по-прежнему 2. Дисперсия среднего равна 1/4, стандартное отклонение 1/2. Средний квадрат ошибки относительно 100 теперь 4+1/4=17/4=4,25. Усреднение уменьшило MSE с 5 до 4,25 за счёт шума, но постоянная составляющая 4 не исчезла.

Это улучшение среднего по повторению опыта, не каждой отдельной серии. Например, показания 101,103,103,103 дают среднее 102,5. Его ошибка относительно 100 равна 2,5, хотя ошибка первого отдельного показания была 1. Закон допускает и такую последовательность; снижение теоретической MSE не обещает приближения к истине после каждой новой записи.

Проверьте, что даст известная извне поправка

Для n независимых повторов в этой модели Var(среднего)=1/n, а MSE=4+1/n. Увеличение n не вычитает двойку из среднего. Более плотная группа около 102 может лучше воспроизводить показание, сохраняя расхождение с истинными 100.

В отдельном контроле допустим, что точное b=2 установлено внешним эталоном без дополнительной неопределённости. Вычтем 2 из среднего четырёх: значения 99;99,5;100;100,5;101 с прежними вероятностями. Их среднее 100, смещение 0, дисперсия иMSE равны 1/4. Изменилось не число повторов, а доступное знание о поправке.

Чего не узнать из одной повторяемой серии

Показания 101/103 с равными шансами совместимы и с другой моделью θ=102,b=0 при том же шуме. Сам журнал повторов не различает эти две суммы θ+b. Поэтому нельзя оценить истинное значение и неизвестную постоянную ошибку только увеличением количества тех же измерений. В реальности эталон и сравнение тоже имеют неопределённость: наша точная поправка —упрощение. Сохраняйте способ получения опорного значения и условия повторов отдельно от красивого малого разброса.

Ограничения разбора

• Истина100, смещение2 и весь вероятностный закон заданы автором; реальная неизвестная поправка из повторов не установлена.
• Шумы взаимно независимы, одинаково распределены±1; нет дрейфа, изменения объекта, оператора и условий. Иные зависимости меняют дисперсию среднего.
• MSE считается относительно отдельно известной в модели истины и включает квадрат смещения; он не равен дисперсии и не является ошибкой каждой отдельной серии.
• Точный внешний эталонный контроль без неопределённости —отдельная модель. Реальная калибровка и поправки могут быть неполными; технические действия и безопасность не оцениваются.

Источники

1. NIST/SEMATECH — Bias and Accuracy,2.1.1.3
2. NIST TN1297 — AppendixD1 Terminology