Почему случайный момент чаще попадает в длинный интервал ожидания

Средний промежуток между событиями равен пяти минутам. Из этого хочется получить среднее ожидание две с половиной. Но сначала нужно спросить, что выбрано случайно: один промежуток из списка или момент на часах. Длинные промежутки занимают больше времени и чаще содержат случайный момент. Посчитаем различие на полностью известном повторяющемся расписании.

Задайте весь цикл и способ появления

Все минуты условны. События происходят в0,1,10,11,20,21 и далее: каждый десятиминутный цикл повторяется без изменений. Внутри цикла два интервала:1 и9 минут. Их среднее по числу интервалов равно(1+9)/2=5. Никаких пропусков, задержек и ограничений вместимости нет.

Наблюдатель появляется в момент T, равномерно распределённый на[0,10), независимо от расписания, и ждёт ближайшего события. Каждая минута времени получает одинаковый вес. На самих границах считаем немедленное обслуживание; отдельные точки имеют вероятность0 и среднее не меняют. Это не предположение о независимых случайных промежутках: интервалы1/9 чередуются детерминированно.

Случайный момент выбирает другие веса

Короткий интервал занимает1 из10 минут, поэтому вероятность попасть в него1/10. Длинный занимает9 из10 — вероятность9/10. Если же сначала выбрать один из двух интервалов равновероятно, веса были бы1/2 и1/2. Это другой эксперимент, хотя список длин не изменился.

В лекции Columbia об inspection paradox различаются время между событиями и остаточное время при наблюдении в произвольный момент. Источник выводит формулы в контексте процесса восстановления. Наш чередующийся цикл посчитаем напрямую: условия независимых одинаково распределённых интервалов ему не приписываются.

Усредните оставшееся время внутри каждого промежутка

В коротком промежутке ожидание уменьшается линейно от1 до0, его среднее1/2 минуты. В длинном —от9 до0, среднее9/2. С правильными временными весами получаем(1/10)×(1/2)+(9/10)×(9/2)=41/10=4,1 минуты.

При равномерном выборе номера интервала, а затем момента внутри него, ответ был бы(1/2)×(1/2)+(1/2)×(9/2)=2,5. Именно эта процедура даёт половину среднего5. Число2,5 не арифметическая ошибка; оно относится к другому способу выбора наблюдения.

Проверьте результат площадью

Для T между0 и1 ожидание равно1−T; между1 и10 —10−T. Площадь под первой наклонной линией1×1/2=0,5 минуто-квадрата, под второй9×9/2=40,5. Общая площадь41, деление на длительность цикла10 снова даёт4,1 минуты.

Средняя длина именно того интервала, куда попал наблюдатель, равна(1/10)×1+(9/10)×9=8,2, а не5. Половина от8,2 как раз4,1. Для контроля зададим другое расписание с интервалами5/5: средняя длина по списку по-прежнему5, но случайное ожидание уже2,5. Разброс длин изменил временной отбор.

Можно проверить и отдельный хвост ожидания. Ждать больше пяти минут приходится только при появлении между первой и пятой минутами полного цикла: это четыре минуты внутри длинного промежутка. Вероятность равна 4/10=40%. Она не равна доле длинных интервалов в списке, то есть половине. Наблюдение по часам меняет не только среднее, но и распределение ожидания.

Что сохранить перед переносом на практику

Зафиксируйте полное расписание, правило появления и доступность следующего события. Если человек сверяется с расписанием или приходит к определённому отправлению, равномерная фаза не обоснована. Реальные отмены и переполненность тоже меняют задачу. Условные4,1 не оценивают работу маршрута, доставки или торгового исполнения; они объясняют, почему частота интервалов и доля занимаемого ими времени дают разные средние.

Ограничения разбора

• Расписание и минуты вымышлены; интервалы1/9 повторяются, не являютсяIID случайными интервалами.
• Случайная фаза строго равномерна на полном десятиминутном цикле и не подбирается по расписанию. На границах вероятность0.
• Следующее событие доступно без ограничений вместимости; нет пропусков, задержек, очереди после события и других расходов времени.
• Сравнение с выбором номера интервала и контроль5/5 — другие явно объявленные эксперименты. Числа не прогнозируют реальное время ожидания.

Источники

1. Ward Whitt, ColumbiaIEOR4106 — The Inspection Paradox, the Excess and the Age, April7,2011