Почему средняя доходность по годам не равна темпу роста капитала

Фраза «в среднем пять процентов в год» неполна, пока не указан способ усреднения. Среднее арифметическое нескольких годовых процентов и постоянный годовой темп, который приводит к конечной сумме, могут различаться. Причина в денежной базе: после первого года следующий процент применяется уже к изменившемуся капиталу.

Задайте одинаковый капитал и горизонт

Возьмём 100 000 условных денежных единиц и два равных года. В сценарии A доходности первого и второго года равны +50% и −40%. В сценарии B они равны +5% и +5%. Все числа вымышлены; названия A и B не обозначают фонды или стратегии.

Внешних пополнений и снятий нет. Доходность каждого года описывает всё изменение стоимости за этот год; отдельных неучтённых выплат не существует. Комиссии, налоги и инфляция исключены. Эти ограничения позволяют восстановить итог последовательным умножением начальной суммы, не решая другую задачу учёта денежных потоков.

Одинаковое среднее даёт разные конечные суммы

Для A арифметическое среднее равно (50% − 40%) / 2 = 5%. Но после первого года остаётся 100 000 × 1,50 = 150 000. После второго — 150 000 × 0,60 = 90 000. Потеря второго года составляет 60 000, а прирост первого был 50 000: одинаковое сложение процентов скрывает разные денежные базы.

Для B среднее тоже равно 5%. Остаток после первого года — 105 000, после второго — 105 000 × 1,05 = 110 250. При одинаковом арифметическом среднем итог B больше итога A на 20 250. Это точное свойство заданных чисел, не доказательство преимущества какого-либо реального продукта.

Найдите постоянный темп, эквивалентный итогу

Общий результат A за два года равен 90 000 / 100 000 − 1 = −10%. Если искать одинаковую годовую ставку g, приводящую к этому итогу, уравнение будет (1 + g)² = 0,90. Поэтому g = √0,90 − 1 ≈ −5,1317% в год.

У B общий результат равен +10,25%, а эквивалентный годовой темп — ровно +5%. В материале FINRA о расчёте доходности отдельно различены общий результат и приведённый к году показатель с учётом капитализации. Наши два сценария рассчитаны самостоятельно, а не взяты из этого материала.

Что именно создало расхождение

Для двух доходностей r₁ и r₂ конечный фактор равен (1 + r₁) × (1 + r₂). Заменив обе ставки их средним, мы задаём другой путь капитала. В A произведение равно 1,50 × 0,60 = 0,90; у двух постоянных 5% оно равно 1,05² = 1,1025.

При этом простая перестановка +50% и −40% без внешних потоков не изменит итог: произведение останется 0,90. Модель не показывает риск порядка изъятий. Расхождение вызвано различием самих годовых факторов и способом усреднения, а не тем, что один из двух годов поставили первым.

Какие строки сохранить для проверки

Запишите начальную сумму, результат каждого равного периода и полученный остаток. Отдельно подпишите арифметическое среднее процентов, общий процент за весь горизонт и эквивалентный годовой темп. Не называйте один показатель другим и не делите общий двухлетний результат пополам вместо решения уравнения роста.

При взносах, снятиях или отдельном получении выплат понадобятся их даты и согласованный метод измерения. Сам по себе рассчитанный темп не предсказывает будущее и не доказывает устойчивость стратегии. Здесь задача ограничена проверкой того, что означают уже заданные числа.

Ограничения разбора

• Доходности и суммы полностью условные; сценарии не являются историей или прогнозом продукта.
• Два периода имеют одинаковую длину по одному году. Нет внешних потоков, отдельных выплат, налогов, комиссий и инфляции.
• Арифметическое среднее не объявляется ошибочным показателем вообще: оно отвечает на другой вопрос, чем итог перемножения факторов.
• Без внешних потоков перестановка этих двух факторов не меняет финал; риск последовательности изъятий не моделируется.
• Эквивалентный темп −5,1317% округлён для отображения; он не означает, что в каждом из исходных лет фактически было такое изменение.

Источники

1. FINRA — How Are Your Investments Doing? Returns, Explained